\subsection{尺规作图与边边边定理}\label{subsec:czjh1-3-10}

以前，我们使用刻度尺、三角板、量角器和圆规等多种工具来画图。
现在，我们来学习只用直尺（没有刻度）和圆规画图的方法，这种方法简称\zhongdian{尺规作图}。
尺规作图与边边边定理有密切关系。下面我们来证明边边边定理：
\begin{dingli}
    有三边对应相等的两个三角形全等。
\end{dingli}

已知：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中，$AB = A'B'$， $BC = B'C'$， $CA = C'A'$（图 \ref{fig:czjh1-3-39}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-39}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-39}
\end{figure}

求证： $\triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C'$。

\zhengming 如图，把 $\triangle ABC$ 拼在 $\triangle A'B'C'$ 上，使最长的边 $BC$ 和 $B'C'$ 重合，
并且使点 $A$ 和点 $A'$ 在 $B'C'$ 边的两旁，连接 $A'A$。

$\because$ \quad $AB = A'B'$， $AC = A'C'$ （已知），

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$， $\angle 3 = \angle 4$ （等边对等角）。

$\therefore$ \quad $\angle B'A'C' = \angle BAC$ （等式性质）。

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中，

\qquad $\begin{cases}
    AB = A'B' \quad \text{（已知），} \\
    \angle BAC = \angle B'A'C' \quad \text{（已证），} \\
    AC = A'C' \quad \text{（已知），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad $\triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C'$ （$SAS$）。


\liti[0] 根据边边边定理，用直尺和圆规作一个三角形与已知三角形全等。

已知： $\triangle ABC$ （图 \ref{fig:czjh1-3-40}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-40}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-40}
\end{figure}


求作：$\triangle A'B'C'$， 使 $\triangle A'B'C' \quandeng \triangle ABC$。

\zuofa 1. 作 $B'C' = BC$。

2. 以点 $B'$ 为圆心，$AB$ 为半径作弧。

3. 以点 $C'$ 为圆心，$AC$ 为半径作弧，与前弧交于点 $A'$。

4. 连接 $A'B'$、 $A'C'$。

$\triangle A'B'C'$ 就是所求的三角形。

\zhengming 在 $\triangle A'B'C'$ 和 $\triangle ABC$ 中，

$\because$ \quad $A'B' = AB$， $B'C' = BC$， $C'A' = CA$ （作图），

$\therefore$ \quad $\triangle A'B'C' \quandeng \triangle ABC$ （$SSS$）。


\begin{lianxi}

用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的底边和腰分别等于已知线段 $a$、 $b$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-subsec10-lx-01}
\end{figure}

\end{lianxi}

